董事会作为经济法人的最高决策机构，拥有监督和管理企业运作的职责。董事会的监督职责主要包括对经济法人治理机制的监督、对经济法人财务状况的监督、对经济法人内部控制体系的监督等。
首先，董事会应该确保经济法人的治理机制合理、有效并符合相关法律法规。董事会应当审查和批准公司章程，并确保公司章程中包含了适当的治理机制，例如董事会的组成、职权和运作方式等。董事会还应当确保公司遵守公司法、证券法等相关法律法规，并监督公司是否按照法律法规的要求进行经营活动。
其次，董事会应该对经济法人的财务状况进行监督。董事会应当定期审查和批准公司的财务报表，确保财务报表的准确性和真实性。董事会还应当聘请独立的审计机构对公司的财务报表进行审计，并对审计结果进行审查和确认。此外，董事会还应当监督公司是否按照财务制度和会计准则进行财务管理，确保公司的财务状况稳健。
另外，董事会还应该对经济法人的内部控制体系进行监督。董事会应当确保公司建立健全的内部控制体系，包括内部控制制度、风险管理制度和内部审计制度等。董事会应当定期审查和评估公司的内部控制体系，发现问题并及时采取措施加以改进。董事会还应当委托独立的内部审计机构对公司的内部控制体系进行审计，并对审计结果进行审查和确认。
为了更好地行使对经济法人治理机制的监督职责，董事会可以采取以下具体措施：
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定期召开董事会会议，对公司的经营情况、财务状况和内部控制体系进行详细的审议和讨论，确保董事会成员对公司的情况有全面的了解。
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建立健全的信息披露制度，及时向董事会提供公司的经营数据、财务报表和重大事项等信息，确保董事会能够及时掌握公司的最新情况。
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委托专业机构对公司的治理机制、财务状况和内部控制体系进行独立评估，发现问题并提出改进意见。
总之，董事会作为经济法人的监督机构，应该加强对经济法人治理机制的监督，确保公司的经营活动合法、合规，维护股东和利益相关方的权益。通过定期审议、信息披露、独立评估和成员培训等措施，董事会能够更好地履行监督职责，推动公司实现良好的治理和可持续发展。